Введение
Фракталы
встречаются
везде, где
заканчиваются
правильные
формы
евклидовой
геометрии.
Все, что
создано
человеком,
ограничено
плоскостями.
Если
встречается
природный
объект, то с
первого
взгляда
видно, что
осознать,
описать его
форму со
всеми
шероховатостями
можно только
приблизительно.
Здесь на
помощь приходят
фракталы.
Термин
«фрактал» (от
латинского
слова
«fractus»
дробь) введен бельгийским
математиком
Бенуа Мандельбротом
и
обозначает
множество,
имеющее
дробную
фрактальную
размерность.
Для
пояснения фрактальной
размерности
необходимо
ввести
понятие
топологической
размерности.
Под
топологической
размерностью Dt
множества в
линейном
пространстве
понимают
число линейно
независимых
координат в
пространстве.
Например, окружность
и линия
имеют
топологическую
размерность
1; круг и
квадрат
2; шар и
куб 3. Фрактальная
размерность
множества D размерность
того
пространства,
которое
полностью
заполняется
множеством.
Для связи
фрактальной
и топологической
размерностей
используют
показатель Херста Н,
вычисляемый
по формуле: Н
= DDt. Фракталом
называют
множество,
фрактальная
размерность
которого не
совпадает
с
топологической.
Рассмотрим
классический
пример
фрактального
множества
триадную
кривую Кох.
Построение
кривой начинается
с
единичного
отрезка,
который
называется
инициатором
и является предфракталом 0-го порядка.
Далее
инициатор
заменяется
на образующий
элемент
кривую из
четырех
прямолинейных
звеньев,
каждое из
которых
имеет длину
1/3. Так
образуется предфрактал
1-го порядка.
Его длина
равна 4/3. Для
построения предфрактала
следующего
порядка
каждое
звено
заменяется
на
уменьшенный
образующий
элемент. В
результате
получаем
кривую,
состоящую из
4х4=16 звеньев,
каждое из
которых
имеет длину
(1/3)/3= 1/9, общая
длина равна 16/9. Длина
предфрактала
n-го
порядка
равна (4/3) в
степени n.
Очевидно,
что предел
длины кривой
при n, стремящемся
к
бесконечности,
равен
бесконечности.
Если
построение
кривой начинать
не с
отрезка, а с
треугольника,
и применить
вышеперечисленные
построения к
каждой его
стороне, то
получим «снежинку»
Кох. Эта
фигура
интересна
тем, что ее
периметр
линия
бесконечной
длины
ограничивает
конечную
площадь.
В
наше время
фракталы
активно
используются
во многих
областях
программирования.
Данная
работа
посвящена
лишь одному
аспекту их
применения -
генерации
рельефов при
помощи
фракталов.
Рассмотрен
алгоритм
посторения
рельефа при
помощи вокселей (voxel -
минимальный
элемент
трехмерного
изображения,
элемент
объема) . Полученный
пейзаж
весьма
реалистичен,
поэтому
этот
алгоритм
часто
используется
при
создании
компьютерных
игр, требующих
быстрой
прорисовки
пейзажа.
Игры, написанные
с примением
вокселей
гораздо динамичнее
игр, в
которых
используется
"натягивание"
текстур на
объекты.
Также в данной
работе рассмотрен
способ
преобразования
фрактального
изображения
в объемное.